How
푸리에 해석학은 어떻게 시작되었을까?
파동방정식
How to sol?
- 진행파
- 정상파 중첩
2에 초점을 맞추고 관찰 -> why? 통찰력 + 응용
사실 초기에는 2가 현의 초기 속도 및 위치가 정상파가 중첩된 매우 단순한 형태에서만 적용된다고 여겨짐 : 푸리에의 아이디어로 모든 초기조건에 대해 ㄱㄴ 밝혀짐
진행파
\[u(x,t)=F(x+t)+G(x-t)\]정상파 중첩
Key : 변수분리를 통한 편미분 방정식 -> 연립 상미분 방정식으로 변환
\[u(x,t)=\varphi(x)\psi(t)\]정의에 의해 다음이 성립
\[\varphi(x)\psi^{''}(t)=\varphi^{''}(x)\psi(t)\] \[\frac{\psi^{''}(t)}{\psi(t)}=\frac{\varphi^{''}(x)}{\varphi(x)}\]좌변 : $t$에 의존, 우변 : $x$에 의존 -> 양변이 상수 $\lambda$로 같음!
\[\begin{array}{ll} \psi^{''}(t)-\lambda\psi(t) &= 0 \\ \varphi^{'')(x)}-\lambda\varphi(x) &= 0 \end{array}\]if $\lambda \geq 0$, $\psi$가 진동하지 X! 따라서 $\lambda = -m^2$, 해는 다음과 같이 표현 ㄱㄴ
\[u_m(x,t)=(A_m\cos mt+B_m\sin mt)\sin mx \ (m\geq 1)\]